mp2: all done
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21
mp2/Project.2.Maggioni.Claudio/ex2.m
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n = 5;
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A = sparse(n, n);
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% make sure diagonal is 0
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A(1,1) = 0;
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A(n,n) = 0;
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A = A + diag(n:(2*n-1));
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spy(A);
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matlab2tikz('../ex2_2_spy.tex');
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figure;
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subplot(1,2,1)
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spy(A);
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subplot(1,2,2)
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spy(chol(A));
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matlab2tikz('../ex2_3_spy.tex');
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@ -42,14 +42,16 @@ deg = sum(A);
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L = full(diag(deg) - A);
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L = full(diag(deg) - A);
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[V, D] = eig(L);
|
[V, D] = eig(L);
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fprintf("lambda_2: %d\n", D(2,2));
|
fprintf("lambda_2: %d\n", D(2,2));
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||||||
plot(sort(V(:,2)), '.-');
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[sv, p] = sort(V(:,2));
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figure;
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[ignore, p] = sort(V(:,2));
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plot(sv, '.-');
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%matlab2tikz('../ex6_6_ev.tex');
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figure;
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figure;
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subplot(1,2,1)
|
subplot(1,2,1)
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||||||
spy(A);
|
spy(A);
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subplot(1,2,2)
|
subplot(1,2,2)
|
||||||
spy(A(p,p));
|
spy(A(p,p));
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||||||
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%matlab2tikz('../ex6_6_spy.tex');
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fprintf("Group 1: ");
|
fprintf("Group 1: ");
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||||||
display(sort(p(1:16))');
|
display(sort(p(1:16))');
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||||||
fprintf("Group 2: ");
|
fprintf("Group 2: ");
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@ -57,3 +59,4 @@ display(sort(p(17:end))');
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48
mp2/ex2_2_spy.tex
Normal file
48
mp2/ex2_2_spy.tex
Normal file
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@ -0,0 +1,48 @@
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% This file was created by matlab2tikz.
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%The latest updates can be retrieved from
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% http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/22022-matlab2tikz-matlab2tikz
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%where you can also make suggestions and rate matlab2tikz.
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\definecolor{mycolor1}{rgb}{0.00000,0.44700,0.74100}%
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[%
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|
height=4.754in,
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]
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\addplot [color=mycolor1, only marks, mark size=2.3pt, mark=*, mark options={solid, mycolor1}, forget plot]
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table[row sep=crcr]{%
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1 1\\
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1 2\\
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1 3\\
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1 4\\
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1 5\\
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2 1\\
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2 2\\
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2 5\\
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3 1\\
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3 3\\
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3 5\\
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};
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|
\end{axis}
|
||||||
|
\end{tikzpicture}%
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82
mp2/ex2_3_spy.tex
Normal file
82
mp2/ex2_3_spy.tex
Normal file
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@ -0,0 +1,82 @@
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% This file was created by matlab2tikz.
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%The latest updates can be retrieved from
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% http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/22022-matlab2tikz-matlab2tikz
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%where you can also make suggestions and rate matlab2tikz.
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%
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\definecolor{mycolor1}{rgb}{0.00000,0.44700,0.74100}%
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%
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|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
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\begin{axis}[%
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width=2.603in,
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height=2.603in,
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|
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xlabel style={font=\color{white!15!black}},
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xlabel={nz = 19},
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y dir=reverse,
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ymin=0,
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||||||
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]
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\addplot [color=mycolor1, only marks, mark size=2.3pt, mark=*, mark options={solid, mycolor1}, forget plot]
|
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table[row sep=crcr]{%
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|
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|
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\begin{axis}[%
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|
||||||
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height=2.603in,
|
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|
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scale only axis,
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|
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|
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|
||||||
|
]
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|
||||||
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table[row sep=crcr]{%
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5 4\\
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};
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|
\end{axis}
|
||||||
|
\end{tikzpicture}%
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60
mp2/ex6_6_ev.tex
Normal file
60
mp2/ex6_6_ev.tex
Normal file
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@ -0,0 +1,60 @@
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% This file was created by matlab2tikz.
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%The latest updates can be retrieved from
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% http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/22022-matlab2tikz-matlab2tikz
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%where you can also make suggestions and rate matlab2tikz.
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%
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\definecolor{mycolor1}{rgb}{0.00000,0.44700,0.74100}%
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%
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\begin{tikzpicture}
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||||||
|
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||||||
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\begin{axis}[%
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|
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height=4.754in,
|
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|
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|
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|
||||||
|
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|
||||||
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|
||||||
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|
||||||
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|
||||||
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|
||||||
|
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|
||||||
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|
||||||
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|
||||||
|
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|
||||||
|
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|
||||||
|
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|
||||||
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|
||||||
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|
||||||
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|
||||||
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|
||||||
|
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|
||||||
|
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|
||||||
|
22 0.11890326307255\\
|
||||||
|
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|
||||||
|
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|
||||||
|
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|
||||||
|
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|
||||||
|
27 0.160962921412923\\
|
||||||
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28 0.162750784735682\\
|
||||||
|
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|
||||||
|
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|
||||||
|
31 0.162750784735682\\
|
||||||
|
32 0.162750784735682\\
|
||||||
|
33 0.167650313260338\\
|
||||||
|
34 0.18710956349329\\
|
||||||
|
};
|
||||||
|
\end{axis}
|
||||||
|
\end{tikzpicture}%
|
||||||
360
mp2/ex6_6_spy.tex
Normal file
360
mp2/ex6_6_spy.tex
Normal file
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@ -0,0 +1,360 @@
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% This file was created by matlab2tikz.
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%
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%The latest updates can be retrieved from
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% http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/22022-matlab2tikz-matlab2tikz
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%where you can also make suggestions and rate matlab2tikz.
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%
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|
\definecolor{mycolor1}{rgb}{0.00000,0.44700,0.74100}%
|
||||||
|
%
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||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
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||||||
|
\begin{axis}[%
|
||||||
|
width=2.603in,
|
||||||
|
height=2.603in,
|
||||||
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|
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||||||
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||||||
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||||||
|
ymin=0,
|
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|
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|
||||||
|
]
|
||||||
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\addplot [color=mycolor1, only marks, mark size=2.3pt, mark=*, mark options={solid, mycolor1}, forget plot]
|
||||||
|
table[row sep=crcr]{%
|
||||||
|
1 2\\
|
||||||
|
1 3\\
|
||||||
|
1 4\\
|
||||||
|
1 5\\
|
||||||
|
1 6\\
|
||||||
|
1 7\\
|
||||||
|
1 8\\
|
||||||
|
1 9\\
|
||||||
|
1 11\\
|
||||||
|
1 12\\
|
||||||
|
1 13\\
|
||||||
|
1 14\\
|
||||||
|
1 18\\
|
||||||
|
1 20\\
|
||||||
|
1 22\\
|
||||||
|
1 32\\
|
||||||
|
2 1\\
|
||||||
|
2 3\\
|
||||||
|
2 4\\
|
||||||
|
2 8\\
|
||||||
|
2 14\\
|
||||||
|
2 18\\
|
||||||
|
2 20\\
|
||||||
|
2 22\\
|
||||||
|
2 31\\
|
||||||
|
3 1\\
|
||||||
|
3 2\\
|
||||||
|
3 4\\
|
||||||
|
3 8\\
|
||||||
|
3 9\\
|
||||||
|
3 10\\
|
||||||
|
3 14\\
|
||||||
|
3 28\\
|
||||||
|
3 29\\
|
||||||
|
3 33\\
|
||||||
|
4 1\\
|
||||||
|
4 2\\
|
||||||
|
4 3\\
|
||||||
|
4 8\\
|
||||||
|
4 13\\
|
||||||
|
4 14\\
|
||||||
|
5 1\\
|
||||||
|
5 7\\
|
||||||
|
5 11\\
|
||||||
|
6 1\\
|
||||||
|
6 7\\
|
||||||
|
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|
||||||
|
6 17\\
|
||||||
|
7 1\\
|
||||||
|
7 5\\
|
||||||
|
7 6\\
|
||||||
|
7 17\\
|
||||||
|
8 1\\
|
||||||
|
8 2\\
|
||||||
|
8 3\\
|
||||||
|
8 4\\
|
||||||
|
9 1\\
|
||||||
|
9 3\\
|
||||||
|
9 31\\
|
||||||
|
9 33\\
|
||||||
|
9 34\\
|
||||||
|
10 3\\
|
||||||
|
10 34\\
|
||||||
|
11 1\\
|
||||||
|
11 5\\
|
||||||
|
11 6\\
|
||||||
|
12 1\\
|
||||||
|
13 1\\
|
||||||
|
13 4\\
|
||||||
|
14 1\\
|
||||||
|
14 2\\
|
||||||
|
14 3\\
|
||||||
|
14 4\\
|
||||||
|
14 34\\
|
||||||
|
15 33\\
|
||||||
|
15 34\\
|
||||||
|
16 33\\
|
||||||
|
16 34\\
|
||||||
|
17 6\\
|
||||||
|
17 7\\
|
||||||
|
18 1\\
|
||||||
|
18 2\\
|
||||||
|
19 33\\
|
||||||
|
19 34\\
|
||||||
|
20 1\\
|
||||||
|
20 2\\
|
||||||
|
20 34\\
|
||||||
|
21 33\\
|
||||||
|
21 34\\
|
||||||
|
22 1\\
|
||||||
|
22 2\\
|
||||||
|
23 33\\
|
||||||
|
23 34\\
|
||||||
|
24 26\\
|
||||||
|
24 28\\
|
||||||
|
24 30\\
|
||||||
|
24 33\\
|
||||||
|
24 34\\
|
||||||
|
25 26\\
|
||||||
|
25 28\\
|
||||||
|
25 32\\
|
||||||
|
26 24\\
|
||||||
|
26 25\\
|
||||||
|
26 32\\
|
||||||
|
27 30\\
|
||||||
|
27 34\\
|
||||||
|
28 3\\
|
||||||
|
28 24\\
|
||||||
|
28 25\\
|
||||||
|
28 34\\
|
||||||
|
29 3\\
|
||||||
|
29 32\\
|
||||||
|
29 34\\
|
||||||
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% This file was created by matlab2tikz.
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%The latest updates can be retrieved from
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%where you can also make suggestions and rate matlab2tikz.
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4 7\\
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||||||
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5 2\\
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5 4\\
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5 7\\
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6 7\\
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7 2\\
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||||||
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7 3\\
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||||||
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7 4\\
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||||||
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7 5\\
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7 6\\
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7 8\\
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7 9\\
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7 10\\
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7 11\\
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7 12\\
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7 13\\
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||||||
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7 14\\
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||||||
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7 15\\
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||||||
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7 16\\
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7 17\\
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7 21\\
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8 7\\
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8 11\\
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9 7\\
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9 13\\
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10 7\\
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10 13\\
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11 7\\
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11 8\\
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11 12\\
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11 13\\
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11 14\\
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11 16\\
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||||||
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12 7\\
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12 11\\
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12 13\\
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12 16\\
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13 7\\
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13 9\\
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13 10\\
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13 11\\
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13 12\\
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13 14\\
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13 15\\
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13 16\\
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13 18\\
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14 7\\
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14 11\\
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14 13\\
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14 16\\
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14 22\\
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15 7\\
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15 13\\
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15 22\\
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16 7\\
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16 11\\
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16 12\\
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16 13\\
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16 14\\
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16 17\\
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16 19\\
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16 20\\
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16 23\\
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16 24\\
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17 7\\
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17 16\\
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||||||
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17 18\\
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17 22\\
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17 24\\
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18 13\\
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18 17\\
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18 22\\
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||||||
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18 24\\
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19 16\\
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||||||
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19 22\\
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20 16\\
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||||||
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20 21\\
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20 22\\
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21 7\\
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21 20\\
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||||||
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21 22\\
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21 24\\
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||||||
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21 25\\
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21 27\\
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||||||
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22 14\\
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||||||
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22 15\\
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22 17\\
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22 18\\
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22 19\\
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22 20\\
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22 21\\
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22 23\\
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22 24\\
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22 26\\
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22 28\\
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22 29\\
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22 30\\
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22 31\\
|
||||||
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22 32\\
|
||||||
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22 33\\
|
||||||
|
22 34\\
|
||||||
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23 16\\
|
||||||
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23 22\\
|
||||||
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23 25\\
|
||||||
|
23 26\\
|
||||||
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24 16\\
|
||||||
|
24 17\\
|
||||||
|
24 18\\
|
||||||
|
24 21\\
|
||||||
|
24 22\\
|
||||||
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24 26\\
|
||||||
|
24 28\\
|
||||||
|
24 29\\
|
||||||
|
24 30\\
|
||||||
|
24 31\\
|
||||||
|
24 32\\
|
||||||
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24 33\\
|
||||||
|
25 21\\
|
||||||
|
25 23\\
|
||||||
|
25 27\\
|
||||||
|
26 22\\
|
||||||
|
26 23\\
|
||||||
|
26 24\\
|
||||||
|
26 27\\
|
||||||
|
26 33\\
|
||||||
|
27 21\\
|
||||||
|
27 25\\
|
||||||
|
27 26\\
|
||||||
|
28 22\\
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||||||
|
28 24\\
|
||||||
|
29 22\\
|
||||||
|
29 24\\
|
||||||
|
30 22\\
|
||||||
|
30 24\\
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||||||
|
31 22\\
|
||||||
|
31 24\\
|
||||||
|
32 22\\
|
||||||
|
32 24\\
|
||||||
|
33 22\\
|
||||||
|
33 24\\
|
||||||
|
33 26\\
|
||||||
|
33 34\\
|
||||||
|
34 22\\
|
||||||
|
34 33\\
|
||||||
|
};
|
||||||
|
\end{axis}
|
||||||
|
\end{tikzpicture}%
|
||||||
Binary file not shown.
|
|
@ -3,6 +3,13 @@
|
||||||
\usepackage{subcaption}
|
\usepackage{subcaption}
|
||||||
\usepackage{amsmath}
|
\usepackage{amsmath}
|
||||||
\input{assignment.sty}
|
\input{assignment.sty}
|
||||||
|
\usepackage{pgfplots}
|
||||||
|
\pgfplotsset{compat=newest}
|
||||||
|
\usetikzlibrary{plotmarks}
|
||||||
|
\usetikzlibrary{arrows.meta}
|
||||||
|
\usepgfplotslibrary{patchplots}
|
||||||
|
\usepackage{grffile}
|
||||||
|
\usepackage{amsmath}
|
||||||
|
|
||||||
|
|
||||||
\hyphenation{PageRank}
|
\hyphenation{PageRank}
|
||||||
|
|
@ -70,7 +77,9 @@ And the spy plots of the corresponding Cholesky factor are listed in figure~\ref
|
||||||
\label{fig:1chol}
|
\label{fig:1chol}
|
||||||
\end{figure}
|
\end{figure}
|
||||||
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|
||||||
The number of nonzero elements in the Cholesky factor of the RCM optimized matrix are significantly lower (circa 0.1x) of the ones in the vanilla process. The respective nonzero counts can be found in figure~\ref{fig:1chol}.
|
The number of nonzero elements in the Cholesky factor of the RCM optimized
|
||||||
|
matrix are significantly lower (circa 0.1x) of the ones in the vanilla process.
|
||||||
|
The respective nonzero counts can be found in figure~\ref{fig:1chol}.
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||||||
\section{Sparse Matrix Factorization [10 points]}
|
\section{Sparse Matrix Factorization [10 points]}
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|
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|
|
@ -84,7 +93,14 @@ corresponding to all edges and the main diagonal. Therefore:
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\[4 + 5 \dot (n - 2) = 5n - 6\]
|
\[4 + 5 \dot (n - 2) = 5n - 6\]
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|
||||||
\subsection{Construct this matrix and visualize its non-zero structure.}
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\subsection{Write a short Matlab script to construct this matrix and visualize
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its non-zero structure(you can use, e.g., the command \texttt{spy()}).}
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The MATLAB script can be found in file \texttt{ex3.m}.
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Here is a spy plot of the nonzero values of $A$, for $n = 5$:
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\centering{\input{ex2_2_spy.tex}}
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The matrix $A \in R^{n x n}$ looks like this (zero entries are represented as
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The matrix $A \in R^{n x n}$ looks like this (zero entries are represented as
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blanks):
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blanks):
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|
@ -99,10 +115,17 @@ A := \begin{bmatrix}
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\end{bmatrix}
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\end{bmatrix}
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\]
|
\]
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|
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\subsection{Explain why for n = $100000$ using Matlab’s \texttt{chol(\ldots)}
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\subsection{Using again the \texttt{spy()} command, visualize side by side the
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|
original matrix $A$ and the result of the Cholesky factorization (\texttt{chol()}
|
||||||
|
in Matlab). Then explain why for n = $100000$ using Matlab’s \texttt{chol(\ldots)}
|
||||||
to solve $Ax = b$
|
to solve $Ax = b$
|
||||||
for a given righthand-side vector would be problematic.}
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for a given righthand-side vector would be problematic.}
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||||||
|
|
||||||
|
Here is the plot of \texttt{spy(A)} (on the left) and \texttt{chol(spy(A))} (on
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the right).
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|
\centering{\input{ex2_3_spy.tex}}
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Solving $Ax = b$ would be a costly operation since the a Cholesky
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Solving $Ax = b$ would be a costly operation since the a Cholesky
|
||||||
decomposition of matrix $A$ (performed using MATLAB's \texttt{chol(\ldots)})
|
decomposition of matrix $A$ (performed using MATLAB's \texttt{chol(\ldots)})
|
||||||
would drastically reduce the number of zero elements in the matrix in the very
|
would drastically reduce the number of zero elements in the matrix in the very
|
||||||
|
|
@ -422,6 +445,43 @@ network into two groups of 16 and 18 nodes, respectively. List the nodes in the
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two groups. How does spectral bisection compare to the real split observed by
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two groups. How does spectral bisection compare to the real split observed by
|
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Zachary?}
|
Zachary?}
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|
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The spectral bisection of the matrix a in two groups of 16 and 18 members
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respectively is identical to the real split observed by Zachary. To compute the
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split, the script \texttt{ex6.m} was used.
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Here are the (sorted) two groups found:
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\begin{gather*}
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G_1 = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 20, 22] \\
|
||||||
|
G_2 = [9, 10, 15, 16, 19, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34]
|
||||||
|
\end{gather*}
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|
|
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|
Here are the spy plots of the original matrix A (to the left) and the spectral
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|
bisected permutated matrix (to the right):
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\centering{\input{ex6_6_spy.tex}}
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Here is a plot of the sorted elements of the second eigenvector $\lambda_2$:
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|
|
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\centering{\input{ex6_6_ev.tex}}
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|
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|
and here are the actual (sorted) values of $\lambda_2$:
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\begin{align*}
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sort(\lambda_2) = [-0.4228, -0.3237, -0.3237, -0.2846,
|
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|
-0.2846, -0.2110, -0.1121, -0.1095, -0.1002, \\ -0.1002, -0.0555,
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||||||
|
-0.0526, -0.0413, -0.0147, -0.0136, 0.0232, 0.0516, 0.0735, \\
|
||||||
|
0.0928, 0.0952, 0.0988, 0.1189, 0.1277, 0.1303, 0.1530,
|
||||||
|
0.1557, 0.1610, \\ 0.1628, 0.1628, 0.1628, 0.1628, 0.1628,
|
||||||
|
0.1677, 0.1871]^T
|
||||||
|
\end{align*}
|
||||||
|
|
||||||
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As it can be seen above, there are only 15 negative values out the 16 we would
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need to obtain a perfect 16/18 partition. We therefore add the index corresponding to
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the smallest positive value in $\lambda_2$ in the set of indexes of group 1.
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This seems to be a good approximation since indeed we get the same partitioning
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as the original Zachary's one.
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\begin{thebibliography}{99}
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\begin{thebibliography}{99}
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||||||
\bibitem{karate} The social network of a karate club at a US university, M.~E.~J. Newman and M. Girvan, Phys. Rev. E 69,026113 (2004)
|
\bibitem{karate} The social network of a karate club at a US university, M.~E.~J. Newman and M. Girvan, Phys. Rev. E 69,026113 (2004)
|
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pp. 219-229.
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pp. 219-229.
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Reference in a new issue